Unten ein Archiv - Posting von pb zum Thema, man muß nur lange genug suchen... 

BasisSystemIdee „Abbruch von Ordnungen“ (III)

Ich muss den konkreten Teil III in mehrere Unterteile zerlegen.

III (a) Die Auswahl eines geordneten Klumpens

Um Tests und Simulationen durchzuführen, mußte zuerst festgelegt werden, was als »geordneter Klumpen« in Frage kommt. Im Prinzip alles: jede vorab festgelegte Sequenz bestimmter Länge einer Einfachen Chance. Nach einigen Tests entschied ich mich, das wiederholte isolierte Auftreten jeder Einfachen Chance für sich allein genommen als geordneten Klumpen anzusehen. Die Wiederholungen identifizierte ich also mit der Ordnung des Musters: je mehr Wiederholungen, desto größer oder stärker die Ordnung. Und ich beschloß darauf zu wetten, daß die Ordnung nach dem zweiten isolierten Erscheinen einer (jeden) Einfachen Chance abbrach, und wenn nicht, noch einmal nach dem dritten isolierten Erscheinen. Trat das ein, war die Wette bzw. die Partie gewonnen. Brach die Ordnung bereits vorher ab, kam es erst gar nicht zum Einsatz. Trat die Einfache Chance dagegen mindestens viermal isoliert auf, so war die Partie verloren. 
Beispiel. Bezeichnen wir eine bestimmte Einfache Chance mit X und ihre Gegenchance mit Y. Und nehmen wir an, folgende Permanenz liege vor:
Y ... X Y ... X Y ... X

Die mehrmals angeführten drei Punkte nach der Y-Chance bedeuten, daß Y jeweils in einer beliebigen Sequenzlänge vorkommen kann. (Kommt zum Beispiel auch Y wiederholt isoliert vor, haben wir eine klassische Intermittenz-Situation vorliegen, und Y wäre auch an der Reihe; auf die Intermittenzen, für die eine spezielle Regel gilt, komme ich später zurück.) 
Wir betrachten hier prinzipiell nur die Chance X für sich allein. Und stellen fest, daß sie bereits zweimal isoliert vorkam und jetzt auch als letzter Coup erschien. 
Das ist aber bereits unser Einsatzsignal, wenn wir auf den Abbruch dieses isolierten Erscheinens von X wetten wollen. Und zwar müßten wir für den nächsten Coup genau auf X setzen, denn nur wenn X auch tatsächlich erscheint, ist die Ordnung unterbrochen.
Tritt X ein, haben wir unsere Wette beim ersten Anlauf gewonnen und die Partie ist beendet.
Tritt die Gegenchance Y ein, dann haben wir unseren ersten Einsatz verloren – die Wette aber noch nicht. Nun warten wir ab, bis die Chance X wieder erscheint. Sobald es soweit ist, wird der zweite (und letzte) Satz der Partie wieder auf X getätigt. 
Erscheint diesmal X, haben wir die Wette beim zweiten Anlauf gewonnen. Kommt dagegen Y, haben wir unsere Wette endgültig verloren. Egal, wie der zweite gesetzte Coup ausgeht: die Partie ist zu Ende. 
Falls Zéro dazwischenfunkt: Haben wir keinen Einsatz getätigt, beachten wir das Ereignis gar nicht. Liegt dagegen gerade ein Einsatz auf dem Tableau, so wird er vorerst gesperrt (en prison). Wir lassen ihn in diesem Fall teilen und setzen unser Spiel fort, ohne Zéro weiter zu beachten. (Wir werden die sog. Zéro-Steuer, nämlich -1,35% aller getätigten Einsätze, bei unseren Erwartungsberechnungen später gebührend berücksichtigen.)

Die wiederholten isolierten Ereignisse nenne ich auch »semi-reguläre« Muster, weil sich diese Ordnung nur auf eine und nicht auf beide komplementäre Teile einer einfachen Chance erstreckt. Allerdings ertreckt sich das Spiel auf alle sechs Einfachen Chancen, wodurch eine gewisse Risikostreuung gewährleistet wird, wie wir noch sehen werden.
 

Die Resultate der Simulationstests 

Die Auswertung der Partien hat zu berücksichtigen, daß es drei Ausgänge für jede Wette gibt: 

1. Gewinn auf Anhieb: (+)
2. Verlust des ersten und Gewinn des zweiten Satzes: (–, +)
3. Verlust der beiden Sätze: (–, –)

Die ersten längeren Tests liefen mit einem Zufallsgenerator.

Ergebnis........Wahrscheinlichkeit.........relative Häufigkeit
der Wette......(theor.; ohne Zéro)........(Zufallsgenerator)
———————————————————————————––——
(+).......................50,0 %.......................45,0 – 55,0 %
(–, +)...................25,0 %.......................22,5 – 32,5 %
(–, –)....................25,0 %.......................17,5 – 27,5 %
———————————————————————————––——
Summe...............100,0 %...........................100,0 %

Obwohl viele Teilergebnisse als normal, erwartungsgemäß zu bezeichnen waren, gab es dennoch eine Überraschung, die immer wiederkehrte und auch über längere Zeiträume verharrte. Es war in erster Linie eine Diskrepanz zwischen den Häufigkeiten von (–, +) und (–, –). Die (–, +) kamen nämlich beständig häufiger vor als die (–, –), während in dieser Zeit die Gewinne auf Anhieb, (+), in etwa 50% ausmachten, was theoriekonform ist.
Über lange Zeiträume sahen die Resultate (gerundet) in etwa wie folgt aus:

Ergebnis...........relative Häufigkeit
————————————––—————
(+).........................50,0 %
(–, +).....................27,5 %
(–, –)......................22,5 %
——————————————––———
Summe.................100,0 %

Diese Diskrepanz taufte ich als »Asymmetrie« (der 1. Art, um genau zu sein, denn es sollte noch eine zweite, ähnliche Diskrepanz hinzukommen).
Dann gab es zwar auch Abschnitte, in denen kaum ein Unterschied zwischen den Ergebnissen (–, +) und (–, –) auffiel. Meistens lagen dann aber die Gewinne auf Anhieb, die Ereignisse (+), deutlich zwischen 55 und 60%.

Ergebnis...........relative Häufigkeit
——————————————––———
(+).........................55,0 %
(–, +).....................22,5 %
(–, –)......................22,5 %
——————————————––———
Summe.................100,0 %

Das ist die empirische Diskrepanz, die ich »Asymmetrie der 2. Art« nannte. Das Merkwürdige dabei war zweifellos der Umstand, daß mindestens eine Asymmetrie-Art fast immer auftrat; wenn nicht die erste, dann die zweite.
Die Asymmetrien kommen aber nicht stets in der schönsten Regelmäßigkeit vor; es kann sogar lokale Häufungen von Wettverlusten (–, –) geben. Die Häufigkeiten schwanken vielmehr um ihren wahren Mittelwert, besonders wenn die Stichproben tendenziell klein sind. 
Natürlich habe ich mir den Kopf zerbrochen, ob diese Diskrepanzen nicht einfach an meinem Zufallsgenerator lagen – was möglich schien. Deshalb beschloß ich, mir Disketten mit realen Jahrespermanenzen zu besorgen und die Simulationen darauf auszudehnen. Aber eins nach dem anderen.
 

Konsequenzen für ein bedingtes Gewinnspiel

Wenn sich die Resultate einigermaßen bestätigen sollten, was würde dann dieses Spiel auf Abbruch von Ordnungen bringen? Wenn die gefundenen Diskrepanzen bzw. Abweichungen auftreten und solange sie anhalten, ist ein Spiel mit positiver empirischer Erwartung möglich – und zwar selbst bei Masse-égale-Einsätzen. Rechnen wir die Geschichte einmal durch.

Masse-égale-Einsätze

Die Strategie besteht darin, einen Einsatz E auf den Abbruch eines lokalen, semi-regulären Musters zu setzen. Bei Gewinn ist die Partie zu Ende.
Bei Verlust ist ja das geordnete Muster nicht abgebrochen. Bei nächster Gelegenheit wird noch genau einmal ein Einsatz E auf Abbruch gesetzt. Die Partie ist dann endgültig beendet – ob gewonnen oder verloren.
Nehmen wir eine Asymmetrie 1. Art an, sowie die relativen Durchschnittshäufigkeiten 50,0% für (+), 27,5% für (–, +) und 22,5% für (–, –).
Unsere mittleren Setzergebnisse sind die folgenden:

Ereignis.....Häufigkeit.....Ergebnis [Stk].......Prod. Häuf. x Erg.
——————————————————————————————————
(+)...............0,500..............+1E......................+0,50E
(– +)............0,275...............±0 ......................±0
(– –).............0,225.............–2E.......................–0,45E
——————————————————————————————————
Summe.........1,000.........................................+0,05E

Die Summe der Glieder der rechten Kolonne ist die empirische Erwartung der Partie bei einem Masse-égale-Einsatz von E, nämlich +0,05E oder +5% des Einsatzes E.

Pro Partie wird im Mittel 
0,5 x E + 0,275 x (2E) + 0,225 x (2E) = 1,5 x E = 1,5E
eingesetzt.

Bezüglich des Einsatzes beträgt die Rendite also 
+0,05E / 1,5E = ca. +0,0333 oder +3,33%.
Die »Zéro-Steuer« muß an dieser Stelle mit 1,35% noch in Abzug gebracht werden; somit ergibt die Asymmetrie der 1. Art eine empirische Umsatzrendite von knapp +2%.
 

Für eine Asymmetrie 2. Art sehen die Resultate wie folgt aus:

Ereignis.....Häufigkeit.....Ergebnis [Stk].......Prod. Häuf. x Erg.
——————————————————————————————————
(+)...............0,550..............+1E......................+0,55E
(– +)............0,225...............±0 ......................±0
(– –).............0,225.............–2E.......................–0,45E
——————————————————————————————————
Summe.........1,000.........................................+0,10E
 

Die Summe der Glieder der rechten Kolonne ist die empirische Erwartung der Partie bei einem Masse-égale-Einsatz von E, nämlich +0,1E oder +10% des Einsatzes E.

Der Einsatz pro Partie bleibt unverändert 1,5E. Bezüglich des Einsatzes ist die Rendite also 
+0,1E / 1,5E = ca. +0,0666 oder +6,66%.
Abzüglich der Zéro-Steuer ergibt dies empirisch etwa + 5,3% der Einsätze.

Empirischer Erwartungs-Mix
Erwartungs-Mix: 2,0% x (2/3) + 5,3% x (1/3) = ca. +3,1 % der Einsätze.

Die Asymmetrie der 1. Art kommt etwa doppelt so häufig vor wie die der 2. Art. Somit ergibt sich der folgende empirische 

Kapitalbedarf (masse égale)

Aus geeigneten Kapitalbedarfstabellen können wir den Kapitalbedarf bei Masse-égale-Einsätzen, bei einer Erwartung von +3% und bei einer vernünftigen Ruinwahrscheinlichkeit von 5% leicht ausmachen: etwa zwischen 50 und 75 Stücke. Auch aus Gründen des persönlichen Wohlbefindens empfiehlt sich eine stille Reserve in gleicher Höhe; nur eine große Anzahl von Stücken macht das Spiel sicherer.

(Der nächste Abschnitt (IIIb) befasst sich mit begrenzt-lokalen Progressionen.)